对称矩阵

关于对称矩阵，这里个人认为需要掌握两个结论：

• n×n对称矩阵存在n个正交的特征向量
• 实对称矩阵的特征值也是实数

所以若 $A=A^T$，则$A$可进行特征值分解为$A=Q\Lambda Q^T$，$Q$为正交矩阵

如果实对称矩阵的特征值为正数，则该矩阵为正定矩阵
正定矩阵满足以下性质：

• 特征值均为正数
• 所有子行列式为正数
• 主元为正数（本条保留疑问，因为主元的值似乎可以任意改变）

本节个人认为掌握这些就够用了，若以后需要其他，再进行补充，包括相似矩阵，若尓当型等

奇异值分解（SVD）

奇异值分解是一种相当重要的分解，也是一种很完美的分解，可对任意形状的矩阵进行分解。

设${v_1,v_2,v_3….v_r}$为$A$行空间的一组标准正交基，${u_1,u_2,u_3…u_r}$为$A$的一组列空间向量，有$Av_x=u_x$，将$u_x$规范化有$Av_x=\sigma _xu_x$，整合有$Av=u\Sigma$，
这里有个结论，就是我们能够找到$u$也为列空间的一组正交基，至于为什么能够找到，暂且不明。于是有$\Sigma$为伸缩比例的对角阵，这里
$A:m×n，v=n×r，u=m×r，\Sigma=r×r$

为了方便分解，我们在$v$中右边填充零空间的一组标准基，$u$中右填充左零空间的一组标准基，则$\Sigma$相应位置填充零向量。
则有 ${v_1,v_2,v_3….v_r，v_{r+1}….v_n},{u_1,u_2,u_3….u_r，u_{r+1}….u_m}$，则有$AV=U\Sigma$,这里有
$A:m×n，V:n×n，U=m×m，\Sigma=m×n$
其中$V,U$为正交矩阵,$\Sigma$为对角阵，进一步有
$A=U\Sigma V^T$
这就是矩阵的奇异值分解。
从分解过程可以看出，$U，V$并非唯一的，这也是奇异值分解仅仅指定了形式，而数值并非确定。
那么如何来求解$U，V$呢？
这里有

• $A^TA=V\Sigma ^TU^TU\Sigma V^T=V\Sigma ^2V^T$
• $AA^T=U\Sigma V^TV\Sigma ^TU^T=U(\Sigma ^T)^2U^T$

所以$V$是$A^TA$的一个特征向量组，$U$是$AA^T$的一个特征向量组，而特征值为$\Sigma ^2$，一般而言我们取$\Sigma$的正值。

这里需要思考一个问题了，上面其实从两个角度上来说明了$U,V,\Sigma$的含义

角度1

$U={u_1,u_2…u_r,u_{r+1}…u_n}，V={v_1,v_2…v_r,v_{r+1}…v_m}$
${v_1…v_r}$为行空间的一组正交向量， ${v_r+1…v_n}$为零空间的一组正交向量，显然二者是正交的；
${u_1…u_r}$为列空间的一组正交向量， ${u_r+1…u_m}$为左零空间的一组正交向量，显然二者是正交的；
$\Sigma$为伸缩因子

角度2

• $A^TA=V\Sigma ^TU^TU\Sigma V^T=V\Sigma ^2V^T$
• $AA^T=U\Sigma V^TV\Sigma ^TU^T=U(\Sigma ^T)^2U^T$

$U$是$AA^T$的一个特征向量组，$V$是$A^TA$的一个特征向量组，$\Sigma ^2$为对应特征值矩阵。

两个角度的联系

按照上面的推导过程，$V$右部分是$A$零空间中任意找一组正交的向量，那么这里的$V$又是$A^TA$的一个特征向量组，难道特征向量也可以任意吗？

答案是，对，$V$的确是$A^TA$的特征向量组，但是对于上面所说的$V$右边的$A$的零空间向量正好对应于$A^TA$的特征值为零的特征向量，所以在$A^TA$对角化的过程中，对于0特征值所对应的特征向量就是任意选取的一组正交向量。

那么如何保证选取的$A^TA$特征值为零的特征向量也是$A$的零向量，或者说选取的$A$的零空间向量也是$A^TA$的特征值为零的特征向量呢？

这里先证一个结论：
$A^TAx=0\Leftrightarrow Ax=0\Rightarrow A^TA$与$A$的零空间相同$\Rightarrow A^TA$与$A$的零，行空间相同
充分性:$A^TAx=0\Rightarrow x^TA^TAx=0\Rightarrow(Ax)^2=0\Rightarrow Ax=0$
必要性:$Ax=0\Rightarrow A^TAx=0$

另外还有易得结论：
方阵的零空间向量都是方阵的特征值为零的特征向量，或者说方阵的特征值为零的特征向量都在方阵的零空间内，双方充要，因为$Ax=0 \Leftrightarrow Ax=0x$

由上面可得：
充分性说明了选取的$A^TA$特征值为零的特征向量在$A$的零空间内
必要性说明了选取的$A$的零空间向量是$A^TA$的特征值为零的特征向量

另外还有个小问题，$A^TA$的特征值不为零的特征向量，为什么一定在$A$的行空间内呢？
这就很容易回答了，因为$A^TA$的特征值不为零的特征向量在$A^TA$的行空间内(行零空间互补)，也即是$A$的行空间内。

线性变换

首先我们得知道线性变换为何物，
定义$T$为一种变换，若对输入向量有

• $T(\alpha w)=\alpha T(w)$
• $T(w+v)=T(w)+T(v)$
• $T(\alpha w+\beta v)=\alpha T(w)+\beta T(v)$(由前二者可得)

则$T$称为线性变换。比如旋转，投影就是线性变换。
这里有一个结论了，任意一个线性变换都可以用矩阵来表示，任意一个矩阵都意味着一个线性变换，那么我们就得来了解二者兼得关系了。

由线性变换确定矩阵

• $T(v_1)=w_1$
• $T(v_2)=w_2$

所以线性变换确定的矩阵就为
$
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
$
由此可见线性变换确定的矩阵是与输入输出基相关的。

由矩阵确定线性变换

理解了线性变换确定矩阵的过程，再看由矩阵确定线性变换就比较容易了，矩阵的每个列向量，代表输入空间的基由输出空间基表示的系数，如果，二者均采用自然基，那么，矩阵就将输入向量变换到列空间中，理解整个空间变换时，可参考B站的线代视频所讲的网格法。

基变换

基变换是指，一个向量从一组基变换到另一个基上时的新坐标，这里其实有个问题，应该说，基本身一般是采用的自然基，所以我们就可以先把原向量变换为自然基，然后再变到新的基上：
$Wx=Vc$，其中$W$为旧基，$x$为原坐标，$V$为新基，$c$为新坐标
特殊地，若$W$为自然基，则有$x=Vc$。

后记

总算把线代的大部分知识总结完了，其中也漏了不少目前还没用到的知识，等用到时，再加以补充吧。
2017.7.24

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