谈谈傅里叶变换中的变量代换

作者: rainlin 分类: 数学 发布时间: 2017-06-27 15:49

问题

首先给出傅里叶变换对的公式:
$\left\{\begin{matrix}X(jw)=\int x(t)e^{-jwt}dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int X(jw)e^{jwt}dw\end{matrix}\right.$
提出几个问题

  1. $x(at)$与$x(t)$的傅里叶变换关系
  2. $\left\{\begin{matrix}F(u)=\int x(t)e^{-j2\pi ut}dt\\ x(t)=\int F(u)e^{j2\pi ut}du\end{matrix}\right.$该公式是否成立?如何得到呢?

问题1

这里先要搞懂,傅里叶变换的形式事实上是
$\left\{\begin{matrix}X(jw)=F(x(t))\\ x(t)=F^{-1}(X(jw))\end{matrix}\right.$,
变换的作用对象是$x(t)$,即函数本身,观察一下傅里叶变换公式,可以发现里面的$e^{jwt}$也存在$t$,但这个$t$是等式里的$t$,当我们求一个函数的傅里叶变换时,这个$t$是不应代换的。
原因就是因为我们求的是函数的变换,而变换的作用对象就是函数本身,所以我们要代换的是函数本身,而不是函数的变量,比如说我们可以令函数$g(t)=x(at)$,那么$g(t)$的傅里叶变换应为$G(jw)=\int g(t)e^{-jwt}dt=\int x(at)e^{-jwt}dt$。
这样一来,$x(at)$的傅里叶变换就为$G(jw)=\int x(at)e^{-jwt}dt$,注意这里为了区分使用了$G(jw)$为$x(at)$的傅里叶变换,而$x(at)$的傅里叶变换为$X(jw)$
我们观察一下$G(jw)$与$X(jw)$,现在我们对等式变量进行变换,有$G(jw)=\int x(at)e^{-jwt}dt$,令$at=\tau$则$G(jw)=\frac {1}{|a|}\int x(\tau)e^{-\frac {jw\tau}{a}}dt$,注意这存在绝对值,是因为定积分微分变量换元时,需要考虑上下限的变换,所以$G(jw)=\frac{1}{|a|}X(\frac {jw}{a})$。

问题2

这个式子其实就是简单的变量代换,注意这里是对等式而言的,并不像上面,是对$x(at)$进行傅里叶变换
令$w=2\pi u$,则有
$\left\{\begin{matrix}X(j2\pi u)=\int x(t)e^{-j2\pi ut}dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int X(j2\pi u )e^{j2\pi ut}d2\pi u=\int X(j2\pi u)e^{j2\pi ut} du\end{matrix}\right.$
令$F(u)=X(j2\pi u)$,即可完成该等式的证明。

总结

其实在对傅里叶变换对进行变量代换的时候,要考虑清楚到底是对等式进行变换,还是求某个函数的傅里叶变换,
前者就直接对等式进行变量代换,后者就按傅里叶变换进行函数代换

 

 

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