谈谈傅里叶变换中的变量代换
问题
首先给出傅里叶变换对的公式：
\left\{\begin{matrix}X(jw)=\int x(t)e^{-jwt}dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int X(jw)e^{jwt}dw\end{matrix}\right.
提出几个问题
- $x(at)$与$x(t)$的傅里叶变换关系
- $\left\{\begin{matrix}F(u)=\int x(t)e^{-j2\pi ut}dt\\ x(t)=\int F(u)e^{j2\pi ut}du\end{matrix}\right.$该公式是否成立？如何得到呢？
问题1
这里先要搞懂，傅里叶变换的形式事实上是
\left\{\begin{matrix}X(jw)=F(x(t))\\ x(t)=F^{-1}(X(jw))\end{matrix}\right.，
变换的作用对象是x(t)，即函数本身，观察一下傅里叶变换公式，可以发现里面的e^{jwt}也存在t，但这个t是等式里的t，当我们求一个函数的傅里叶变换时，这个t是不应代换的。
原因就是因为我们求的是函数的变换，而变换的作用对象就是函数本身，所以我们要代换的是函数本身，而不是函数的变量，比如说我们可以令函数g(t)=x(at)，那么g(t)的傅里叶变换应为G(jw)=\int g(t)e^{-jwt}dt=\int x(at)e^{-jwt}dt。
这样一来，x(at)的傅里叶变换就为G(jw)=\int x(at)e^{-jwt}dt，注意这里为了区分使用了G(jw)为x(at)的傅里叶变换，而x(at)的傅里叶变换为X(jw)
我们观察一下G(jw)与X(jw)，现在我们对等式变量进行变换，有G(jw)=\int x(at)e^{-jwt}dt，令at=\tau则G(jw)=\frac {1}{|a|}\int x(\tau)e^{-\frac {jw\tau}{a}}dt,注意这存在绝对值，是因为定积分微分变量换元时，需要考虑上下限的变换，所以G(jw)=\frac{1}{|a|}X(\frac {jw}{a})。
问题2
这个式子其实就是简单的变量代换，注意这里是对等式而言的，并不像上面，是对x(at)进行傅里叶变换。
令w=2\pi u,则有
\left\{\begin{matrix}X(j2\pi u)=\int x(t)e^{-j2\pi ut}dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int X(j2\pi u )e^{j2\pi ut}d2\pi u=\int X(j2\pi u)e^{j2\pi ut} du\end{matrix}\right.
令F(u)=X(j2\pi u)，即可完成该等式的证明。
总结
其实在对傅里叶变换对进行变量代换的时候，要考虑清楚到底是对等式进行变换，还是求某个函数的傅里叶变换，
前者就直接对等式进行变量代换，后者就按傅里叶变换进行函数代换。
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